Roues dentées

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Les roues dentées sont des systèmes mécaniques, elles sont utilisé dans des engrenages afin de créer des transmissions de puissance. Les différentes modélisations utilisées pour illustrer ont été faites avec le logiciel OpenSCAD

Paramètres

On va lister ici les paramètres qui vont permettre de définir une roue dentée. Il faut distinguer deux types de paramètres, les paramètres de bases, sans qui on ne peut rien faire et les paramètres que l'on va déduire des paramètres de bases.

Paramètres de base

Le module

Noté , il s'agit du paramètre centrale des transmission mécanique. Il représente la taille des dents. De ce fait on comprends assez facilement qu'il est nécessaire que les différents éléments qui vont devoir s'engrainer doivent avoir le même module.

L'angle de pression

Noté cet angle correspond à la partie bleue sur cette crémaillère

Cremaillere angle alpha.png

Le nombre de dents

Noté , je ne pense pas qu'il soit nécessaire de s'étendre sur ce paramètre.

Paramètres déduis

Une fois en possession de , et , nous avons toutes les informations nécessaire. Cependant afin de modéliser une roue dentée où une crémaillère, il va nous falloir quelques informations supplémentaires.

Le pas

Sur une crémaillère, le pas est la distance pour laquelle le motif se répète, on peut faire le parallèle avec les phénomène oscillant et ce qui est appelé longueur d'onde. On le note et il correspond à :

avec le module et la constante mathématique (3.1415...)

La hauteur de la dent

La hauteur, noté , d'une dent est en réalité composé de deux paramètres

  • la saillie noté
  • le creux noté

avec le module

Dans le cas où le module est inférieur à 1.25 on a :

Dans le cas contraire on a :

La hauteur totale de la dent étant définie par :

Le diamètre de la roue

Comme précédemment on va faire la distinction entre différents diamètres :

  • le diamètre de tête noté
  • le diamètre primitif noté
  • le diamètre de pied noté
  • le diamètre de base noté

Le diamètre primitif correspond à :

Il est à noter que sur le cercle primitif, la largeur d'une dent est d'un pas.

Vu que l'on travaille sur des diamètres, pour trouver le diamètre de tête il est nécessaire d'ajouter deux fois la saillie de la dent.

Pour des raisons identiques on a pour le diamètre de pied :

le diamètre de base sert à générer la développante de cercle qui servira de profil pour les dents.

Récapitulatif

  • , le module, qui caractérise la largeur de la dent et ainsi la couple maximal transmissible
  • , l'ange de pression, qui joue sur l'inclinaison des dents
  • , le nombre de dents
  • , le pas définissant la distance de répétition
  • , la saillie de la dent. Partie qui sera au-dessus du cercle primitif
  • , le creux de la dent. Partie qui sera en-dessous du cercle primitif
    • si alors
    • si alors
  • , la hauteur de la dent
  • , le diamètre primitif de la roue
    • Sur le cercle de diamètre d (cercle primitif), la largeur d'une dent est de
  • , le diamètre de tête de la roue
  • , le diamètre de pied de la roue
  • , permet la génération de la développante de cercle d'équation :


La crémaillère

Maintenant que nous avons listé tous les paramètres, nous allons commencer avec l'exemple le plus simple : la crémaillère, une simple rangée de dents. Les connaissances de bases de la trigonométrie suffisent à calculer tous les points nécessaire à la modélisation d'une crémaillère.

Cremaillere.png

Sachant que sur le trait vert (), la dent à une largeur de , on peut déduire que la base de la dent a une largeur de :

Dans Openscad on peut donc écire :

function creux(m = 1) = m <= 1.25 ? 1.4*m : 1.25*m;

module dent_cremaillere_2D(m = 1, alpha = 20)
{
    //hauteurs
    hf = creux(m);
    ha = m;
    h = hf + ha;
    
    //pas
    p = m*PI;

    largeur_base = 2*hf*tan(alpha) + p/2;
    polygon([ [0, 0], [h*tan(alpha), h], [largeur_base - h*tan(alpha), h], [largeur_base, 0] ]);
}

Avec ce module on peut modéliser UNE dent de crémaillère. Pour modéliser une crémaillère entière, on va simplement appeler ce moduler autant de fois qu'on veut de dents.

module cremaillere_2D(z = 10, m = 1, alpha = 20, largeur = 10)
{
    //hauteurs
	hf = creux(m);
    
    //pas
    p = m*pi;
    
    union()
    {
        //corps de la crémaillère
        translate([0, -largeur, 0])
        {square([p* (z - 1) + p/2 + 2*hf*tan(alpha), largeur]);}
        
        //dents de la crémaillère
        for(i=[0:z-1])
		{
            translate([p*i, 0, 0])
            {dent_cremaillere_2D(m, alpha);}
        }
    }
}

Pour l'instant la modélisation est en 2D, pour obtenir un modèle 3D il suffit d'utiliser la fonction linear_extrude d'OpenSCAD.

module cremaillere_3D(z = 10, m = 1, alpha = 20, largeur = 10, epaisseur = 3)
{
    linear_extrude(epaisseur)
    {cremaillere_2D(z, m, alpha, largeur);}
}

Roue dentée

Pour une roue dentée, le début est identique, on calcule , et , puis on calcule tous les diamètres , , , . C'est là que les problèmes commence. Le profile d'une dent est une développante de cercle :

Or Il ne faut pas que la dent dépasse le cercle de tête de diamètre . Il faut donc trouver la valeur de pour laquelle la développante de cercle intersecte le cercle de tête.

Intersection developpante.png

Nous savons que le point est de coordonnées : , or est le rayon du cercle de tête. En appliquant le théorème de Pythagore on obtient :